Правильний п'ятикутник: необхідний мінімум інформації

Тлумачний словник Ожегова говорить, що п'ятикутникявляє собою геометричну фігуру, обмежену п'ятьма пересічними прямими, що утворюють п'ять внутрішніх кутів, а також будь-який предмет подібної форми. Якщо у даного багатокутника всі сторони і кути однакові, то він називається правильним (Пентагоном).

Чим цікавий правильний п'ятикутник?

Саме в такій формі було побудовано всімвідому будівлю Міноборони Сполучених Штатів. З об'ємних правильних багатогранників лише додекаедр має межі в формі пентагона. А в природі геть відсутні кристали, грані яких нагадували б собою правильний п'ятикутник. Крім того, ця фігура є багатокутником з мінімальною кількістю кутів, яким неможливо замостити площу. Тільки у п'ятикутника кількість діагоналей збігається з кількістю його сторін. Погодьтеся, це цікаво!

Основні властивості і формули

Скориставшись формулами для довільного правильного багатокутника, можна визначити всі необхідні параметри, які має пентагон.

Центральний кут α = 360 / n = 360/5 = 72 °.
Внутрішній кут β = 180 ° * (n-2) / n = 180 ° * 3/5 = 108 °. Відповідно, сума внутрішніх кутів становить 540 °.
Ставлення діагоналі до бічної сторони дорівнює (1 + √5) / 2, тобто "золотий перетин" (приблизно 1,618).
Довжина сторони, яку має правильний п'ятикутник, може бути розрахована за однією з трьох формул, в залежності від того, який параметр вже відомий:

якщо навколо нього описана окружність і відомий її радіус R, то а = 2 * R * sin (α / 2) = 2 * R * sin (72 ° / 2) ≈1,1756 * R;
в разі, коли окружність c радіусом r вписана в правильний п'ятикутник, а = 2 * r * tg (α / 2) = 2 * r * tg (α / 2) ≈ 1,453 * r;
буває так, що замість радіусів відома величина діагоналі D, тоді сторону визначають наступним чином: а ≈ D / 1,618.

Площа правильного п'ятикутника визначається, знову-таки, в залежності від того, який параметр нам відомий:
якщо є вписана або описана окружність, то використовується одна з двох формул:

S = (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r або S = (n * R²* Sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R²;

площа можна також визначити, знаючи лише довжину бічної сторони а:

S = (5 * a²* Tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a^².

Правильний п'ятикутник: побудова

Дану геометричну фігуру можна побудуватипо різному. Наприклад, вписати його в коло з заданим радіусом або побудувати на базі заданої збоку. Послідовність дій була описана ще в «Засадах» Евкліда приблизно 300 років до н.е. У будь-якому випадку, нам знадобляться циркуль і лінійка. Розглянемо спосіб побудови за допомогою заданої окружності.

1. Виберіть довільний радіус і накресліть коло, позначивши її центр точкою O.

2. На лінії окружності виберіть точку, яка буде служити однією з вершин нашого п'ятикутника. Нехай це буде точка А. З'єднайте точки О і А прямим відрізком.

3. Проведіть пряму через точку Про перпендикулярно до прямої ОА. Місце перетину цієї прямої з лінією окружності позначте, як точку В.

4. На середині відстані між точками О і В побудуйте точку С.

5. Тепер накресліть коло, центр якої буде в точці С і яка буде проходити через точку А. Місце її перетину з прямою OB (воно виявиться всередині самої першої окружності) буде точкою D.

6. Побудуйте коло, що проходить через D, центр якої буде в А. Місця її перетину з початковою окружністю потрібно позначити точками Е і F.

7. Тепер побудуйте коло, центр якої буде в Е. Зробити це треба так, щоб вона проходила через А. Її інше місце перетину оригінальної окружності потрібно позначити точкою G.

8. Нарешті, побудуйте коло через А з центром в точці F. Позначте інше місце перетину оригінальної окружності точкою H.

9. Тепер залишилося тільки з'єднати вершини A, E, G, H, F. Наш правильний п'ятикутник буде готовий!

</ P>>